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Calcular diferentes unidades de engrenagem – As fórmulas mais importantes para transmissões de engrenagem

Uma vez que é de grande importância na conceção das engrenagens que as rodas das engrenagens envolvidas engatem corretamente e o desgaste seja minimizado, devem ser realizados vários cálculos básicos. Termos como módulo, diâmetro do passo e contagem de dentes desempenham um papel importante aqui. Neste artigo, abordamos os aspetos mais importantes do cálculo da engrenagem e o que considerar ao calcular as unidades de engrenagem.

Parâmetros importantes para o cálculo da engrenagem

Muitos parâmetros devem ser observados e as dimensões determinadas na construção da engrenagem para adaptar a geometria da engrenagem idealmente aos requisitos da aplicação posterior.

Os parâmetros para a geometria da engrenagem são:

Espaçamento dos eixos a
Relação de transmissão i
Módulo m
Inclinação
Contagem de dentes e
Diâmetro da inclinação d_w
Diâmetro da raiz d_f
Diâmetro da ponta d_a

O módulo das rodas de engrenagens

O módulo (plural: módulo) é uma dimensão utilizada para o cálculo da engrenagem, que é especificada em milímetros e normalizada de acordo com a norma DIN 780.

O módulo mede o tamanho dos dentes das rodas de engrenagem.

Ao conceber pares de rodas de engrenagem, deve ter-se cuidado para utilizar apenas rodas de engrenagem com o mesmo módulo. O módulo é calculado da seguinte forma:

m=\frac{ p }{ \pi } = \frac{ d_{w} }{ z } = \frac{ d_{a} }{ (z+2) }

3 diâmetros de roda de engrenagens diferentes

Ao calcular a roda dentada, três variáveis importantes são relevantes para o diâmetro.

O diâmetro da ponta do dente d_a

O diâmetro do círculo da ponta d_a indica o diâmetro que percorre as pontas dos dentes de uma roda dentada. Resulta do diâmetro do passo e da altura da cabeça.

d_{a}= d_{w} + 2 \times m

d_{a}= m \times (z+2)

O diâmetro da raiz d_f

O diâmetro da raiz d_f indica o diâmetro que corre ao longo da raiz do dente de uma roda dentada. Resulta do diâmetro do passo e da altura da raiz.

d_{ f } = d - 2h_{f}

O diâmetro do passo d_w

O diâmetro do passo d_w descreve uma linha imaginária que corre entre o diâmetro da ponta e o diâmetro da raiz. O diâmetro do passo é uma dimensão firmemente definida de uma roda de engrenagens e pode ser utilizado para determinar o espaçamento axial.

d_{ w } = m \times z

Espaçamento axial das rodas de engrenagem numa unidade de engrenagem

O espaçamento axial a define a distância entre os dois pontos centrais de duas rodas de engrenagem e resulta dos diâmetros de passo das duas rodas de engrenagem (d_{f, 1}, d_f,2).

a = \frac {d_{f,1} + d_{f,2}} {2}

a = \frac {z_{1} + z_{2}} {2} \times m

Espaçamento dos dentes das rodas de engrenagens nas unidades de engrenagens

A contagem de dentes z indica quantos dentes individuais estão na superfície de malha da roda de engrenagens. Deriva do diâmetro do passo e do módulo.

z = \frac {d_{a} + 2m} { m }

Cálculo das unidades de engrenagens

Combinar duas ou mais rodas de engrenagem é a forma mais simples de uma unidade de engrenagem. Os parâmetros mais importantes de todos os tipos de unidade de engrenagem incluem a relação de engrenagem e a eficiência.

Relação de engrenagem das unidades de engrenagem

Uma das principais características das unidades de engrenagem é conseguir uma conversão da velocidade de entrada (inversor) numa velocidade de saída (saída). Esta propriedade é designada por relação de engrenagem e, dependendo do dimensionamento das rodas de engrenagem, pode ser superior à velocidade de entrada (relação de engrenagem) ou inferior à velocidade de entrada (relação de redução).

A relação de transmissão i pode ser expressa como a relação entre a velocidade de acionamento n_an e a velocidade de saída n_ab.

i = \frac {n_{an} } { n_{ab} }

Em alternativa, a relação de engrenagem pode ser determinada utilizando a contagem de dentes (z_an, z_ab) ou o diâmetro do passo (d_a, d_ab).

i = \frac {z_{ab} } { z_{an} } = \frac {d_{ab} } { d_{an} }

No caso de unidades de engrenagem multifases, as relações de engrenagem das fases individuais são multiplicadas umas pelas outras e, em última análise, resultam numa relação de engrenagem geral de i_ges para as fases 1, 2, n.

i_{ges} = \frac {n_{an, 1} } { n_{ab, 1} } \times \frac {n_{an, 2} } { n_{ab, 2} } \times \frac {n_{an, n} } { n_{ab, n} } = {i_{1} } \times { i_{2} } \times i_{n}

Calcular a eficiência

A eficiência de uma unidade de engrenagem é definida como a relação entre a potência utilizável P_Nutz e a potência fornecida P_Zu. A diferença entre a potência utilizável e a potência fornecida é principalmente perdida como energia térmica, que é causada pela fricção entre os materiais dos componentes da unidade de engrenagem. Quanto maior for a fricção de deslizamento entre as rodas, rolamentos e eixos, menor será a eficiência da unidade de engrenagens.

\eta = \frac {P_{Nutz} } { P_{Zu} }

No caso de unidades de engrenagem multifases, a eficiência das fases individuais é multiplicada uma pela outra e, em última análise, resulta numa eficiência geral η_ges para as fases 1, 2, n.

\eta_{ges} = \frac {P_{Nutz, 1} } { P_{Zu, 1} } \times \frac {P_{Nutz, 2} } { P_{Zu, 2} } \times \frac {P_{Nutz, n} } { P_{Zu, n} } = {\eta_{1} } \times { \eta_{2} } \times \eta_{n}

Exemplo de cálculo simples para transmissões de engrenagem

Um cenário comum para o uso de acionamentos de engrenagem é uma dada distância entre dois eixos em que uma força deve ser transmitida em uma dada relação de engrenagem.

O seguinte exemplo de cálculo – com valores práticos – baseia-se num dimensionamento simplificado. O objetivo é o cálculo dos parâmetros de design para a roda motriz e roda de saída.

Na prática, os valores exatos não são realistas; portanto, os parâmetros são declarados com uma tolerância de 5%.
Todas as unidades de comprimento estão em milímetros [mm].
O cálculo dos acionamentos de engrenagem depende da experiência de aplicações práticas. Siga os conselhos ao projetar a unidade de engrenagens.
A força é normalmente transferida da roda dentada grande (roda motriz) para a roda dentada mais pequena (roda de saída).
O índice 1 pertence à roda motriz grande (por exemplo, d_w,1).
O índice 2 pertence à roda de saída mais pequena (por exemplo, d_w,2).

É dado o seguinte:

A relação de transmissão i = 1,9 ... 2.1- a transmissão desejada é 2.
O espaçamento axial a = 33,25 mm ... 36,75 mm - o espaçamento axial real é de 35 mm.
O número mínimo de dentes da roda dentada mais pequena z_{2, min} = 11.
A constante para a folga da ponta k=1,25.

Recomendação: Forneça sempre pelo menos 11 dentes. Caso contrário, o desgaste ocorre porque as rodas de engrenagens não se engatam exatamente umas com as outras.

São procurados os parâmetros de projeto necessários:

O espaçamento axial real.
Os diâmetros do passo, raiz e ponta.

Primeiro, a contagem de dentes da unidade é calculada.

Para tal, é utilizada a contagem de dentes z₂ especificada da saída. Devido à tolerância, utilizamos o limite inferior da transmissão uma vez e o limite superior uma vez.

Primeiro, o limite inferior:

z_{1,min} = 11 \times 1.9

z_{1,min} = 20.9

Em seguida, o limite superior:

z_{1,max} = 11 \times 2.1

z_{1,max} = 23.1

A contagem de dentes está sempre em números inteiros e é arredondada para cima ou para baixo em conformidade. Além disso, selecionamos sempre contagens de dentes ímpares.

Recomendação: Uma contagem de dentes de preparação (número de preparação) é particularmente vantajosa – isto melhora a durabilidade da unidade de engrenagem.

Por conseguinte, selecionamos o emparelhamento da contagem de dentes z₁ = 23 e z₂ = 11.

Calculamos o módulo a partir da contagem de dentes e do espaçamento axial

Para este efeito, alteramos a fórmula do espaçamento axial e utilizamos os valores para z₁ = 23 e z₂ = 11, bem como o espaçamento axial real a = 35 mm:

m = \frac {2 \times 35 \mathrm{mm}}{23 + 11}

m = 2.06 \mathrm{mm}

Selecionamos o módulo com 2 mm .

A relação de transmissão real e o espaçamento axial têm de ser determinados

Devido ao arredondamento para cima ou para baixo do número de dentes z₁ = 23 e z₂ = 11, deve ser assegurado que a relação de engrenagem real e o espaçamento axial ainda estão dentro das tolerâncias especificadas.

A relação de transmissão real:

i_{tat} = \frac{23}{11}

i_{tat} = 2.09

A relação de transmissão real está dentro da tolerância. Este cálculo pode ser continuado.

O espaçamento axial real:

a = \frac {23 + 11} {2} \times 2 \mathrm{mm}

a = 34 \mathrm{mm}

O espaçamento axial real também está dentro da tolerância.

Agora, os parâmetros de design das rodas de engrenagem podem ser calculados com as fórmulas conhecidas

Os diâmetros da raiz e da ponta dependem dos diâmetros do passo. Por conseguinte, os respetivos diâmetros de passo são calculados primeiro.

O diâmetro de passo da roda motriz com o módulo m = 2 mm e z₁ = 23:

d_{ w,1 } = 2 \mathrm{mm} \times 23

d_{ w,1 } = 46 \mathrm{mm}

O diâmetro de passo da roda de saída com o módulo m = 2 mm e z₂ = 11:

d_{ w,2 } = 2 \mathrm{mm} \times 11

d_{ w,2 }= 22 \mathrm{mm}

O diâmetro da raiz da roda de entrada com a folga da ponta k=1,25:

d_{ f,1 } = 46 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}

d_{ f,1 } = 41 \mathrm{mm}

O diâmetro da raiz da roda de saída com a folga da ponta k=1,25:

d_{ f ,2} = 22 \mathrm{mm} - 2 \times 1.25 \times 2 \mathrm{mm}

d_{ f ,2} = 17 \mathrm{mm}

O diâmetro da ponta da roda de entrada:

d_{a,1} = 2 \mathrm{mm} \times (23 + 2)

d_{a,1} = 50 \mathrm{mm}

O diâmetro da ponta da roda de saída:

d_{a,2} = 2 \mathrm{mm} \times (11 + 2)

d_{a,2} = 26 \mathrm{mm}

As rodas de engrenagem totalmente concebidas

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