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Cálculo do centro de massa – com exemplos
Calcular o centro de massa é um passo importante em muitas tarefas de engenharia mecânica e no design de máquinas e componentes. O centro de massa indica onde o peso de um corpo está concentrado e, assim, permite determinar as forças e os momentos no sistema. Este artigo explora os fundamentos do cálculo do centro de massa e fornece alguns exemplos do mundo real.
Qual é o centro de massa?
O centro de massa ou centro de gravidade é onde todo o peso de um corpo é concentrado. É determinado pela localização de todas as massas individuais dentro do sistema e suas distâncias até o ponto de origem.
O centro de massa é o “ponto de ataque” para a gravidade. O objeto comporta-se como uma massa de ponto no campo gravitacional.
Importante – o centro de massa também pode estar fora do corpo. Por exemplo, em conchas hemisféricas. Um torque é ineficaz quando exercido no centro de gravidade.
Para corpos homogéneos (ou seja, densidade igual em todo o lado), o centro de massa corresponde ao centro de gravidade geométrico (centro de volume) - estes corpos são as chamadas massas individuais triviais. O centro de gravidade dos corpos homogéneos é, portanto, mais fácil de determinar.
O oposto dos corpos homogéneos são os chamados corpos homogéneos – têm densidades diferentes nas secções do corpo. Não podem ser consideradas massas únicas. Tais corpos devem ser divididos em massas individuais adequadas, calculadas individualmente e, em última análise, reconciliadas em todo o sistema.
O centro de cálculo de massa é importante em muitas aplicações de engenharia.
Um exemplo é o projeto de uma máquina e os seus componentes: aqui, o centro de gravidade dos componentes deve ser selecionado de modo que a máquina geral seja estável e segura e cujos componentes estejam adequadamente “equilibrados”.
Métodos de cálculo do centro de massa
Existem vários métodos para determinar o centro de massa, dependendo da geometria e da forma como o maciço (densidades) é distribuído no sistema.
- Em corpos homogéneos, o centro de volume pode ser selecionado como o centro de gravidade, desde que todas as densidades sejam distribuídas uniformemente.
- Para corpos homogéneos, o centro de massa deve ser determinado tendo em conta todas as densidades de pontos.
Geralmente, o centro de gravidade pode ser calculado como a soma de todas as submassas, multiplicado pelas suas respetivas distâncias até a origem, dividida pela massa total. O corpo é decomposto num número finito de subquantidades.
Os programas CAD modernos ou programas FEM (método de elementos finitos) oferecem métodos de cálculo para o centro de massa como características padrão.
Centro de massa e centro de volume
O centro do volume não tem em conta a massa ou as densidades do corpo. O centro de volume é, portanto, um caso especial do centro de massa, dada a densidade uniformemente distribuída no objeto.
O cálculo do centro de massa pode ser simplificado para corpos homogéneos.
Esforço e utilidade dos cálculos
Uma divisão adequada em massas individuais nem sempre é trivial – especialmente para densidades distribuídas de forma não uniforme. Esses problemas podem ser resolvidos computacional e experimentalmente. Espera-se que a precisão do resultado dependa da profundidade de cálculo viável ou da precisão da medição. Os resultados só podem ser aproximados – o esforço e o benefício devem, portanto, ser ponderados.
Centro de massa para corpos homogéneos
Para corpos homogéneos como um cuboide ou cilindro, o centro de gravidade pode ser facilmente determinado por considerações geométricas.
Neste caso, podem ser utilizadas sinergias para simplificar o problema.
O centro de massa corresponde ao centro de gravidade geométrico e é facilmente calculado. Neste exemplo, o centro de massa é simultaneamente o centro da área circular e a área projetada do retângulo.
Centro de massa para objectos de forma irregular ou objectos homogéneos
Para objetos irregulares, deve-se considerar cada ponto (densidade pontual) individualmente, devendo ser calculada sua contribuição para a massa total.
Essa abordagem também é chamada de integração.
Poliedro com densidade distribuída uniformemente
O centro de gravidade geométrico do corpo é calculado dividindo o corpo em corpos parciais adequados. Os centros de gravidade destes corpos parciais são calculados e depois ponderados sobre a proporção da área ou volume.
O centro de gravidade geométrico é o centro de massa.
Poliedro com densidade distribuída desigualmente
O centro de gravidade geométrico do corpo com densidade distribuída desigualmente é idêntico ao centro de gravidade geométrico do corpo com densidade distribuída uniformemente.
O centro de gravidade geométrico não se encontra no centro de massa.
O corpo deve ser dividido em corpos parciais adequados e os seus centros de gravidade individuais devem ser determinados com base na forma e na densidade distribuída desigualmente.
O centro de massa é calculado a partir dos corpos parciais tendo em conta o volume corporal e as massas corporais
(x_s,y_s,z_s) = \frac{1}{M}\sum_i(x_{si}, y_{si}, z_{si})\cdot m_i
- M – Massa total
- mi – Massa parcial
- (xsi, ysi, zsi) – coordenadas do centro de gravidade do corpo parcial 1 no sistema de coordenadas espacialmente fixo (x, y, z)
- (xs, ys, zs) – coordenadas do centro de gravidade de todo o objeto no sistema de coordenadas espacialmente fixo (x, y, z)
Fórmula explícita para centro de massa
Se realizar progressivamente descidas de travões mais finas, volumes parciais ou massas parciais "aproximam-se de zero". Como resultado, a fórmula de aproximação acima é convertida num integral.
O centro de gravidade pode assim ser determinado com muita precisão:
x_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)xdV
y_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)ydV
z_s=\frac{1}{M}\int \int_V \int \rho (x,y,z)zdV
- M – Massa total
- p(x, y, z) – Densidade local do material
- V – Volume do componente
Centro de massa para sistemas compostos
Os sistemas compostos consistem em vários corpos individuais interligados, cada um com o seu próprio centro de gravidade.
Para encontrar o centro de gravidade comum de todos os subobjetos, cada um destes pontos deve ser ponderado com a sua massa correspondente.
Exemplo de cálculo: Centro de gravidade combinado de 2 subsistemas
Um sistema composto por dois subsistemas distintos é combinado num centro de gravidade combinado.
x_s=\frac{x_{s1}\times m_1+x_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
y_s=\frac{y_{s1}\times m_1+y_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
z_s=\frac{z_{s1}\times m_1+z_{s2}\times m_2}{m_1+m_2}
- m1 – Massa do corpo parcial 1
- (xs1, ys1, zs1) – coordenadas centro de gravidade do corpo parcial 1 no sistema de coordenadas espacialmente fixo (x, y, z)
- m2 – Massa do corpo parcial 2
- (xs2, ys2, zs2) – coordenadas centro de gravidade do corpo parcial 1 no sistema de coordenadas espacialmente fixo (x, y, z)
- (xs, ys, zs) – coordenadas do centro de gravidade de todo o objeto no sistema de coordenadas espacialmente fixo (x, y, z)
Determinar o centro de massa experimentalmente
O centro de massa também pode ser determinado experimentalmente. Os métodos de medição experimentais têm algumas vantagens em relação aos cálculos puramente teóricos:
- São independentes do modelo do material,
- consideram automaticamente todas as fontes de erro,
- fornecem uma medição direta que não depende de pressupostos ou estimativas.
Método de oscilação
O método de oscilação baseia-se no princípio da oscilação harmónica. Isso envolve suspender um objeto num fio fino e fazer com que ele oscile. A velocidade angular pode ser calculada medindo a duração do período. A velocidade angular pode então ser utilizada para determinar a distância entre o ponto de suspensão e o centro de massa.
| Vantagens: |
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| Desvantagens: |
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Método de escala
Este método coloca o objeto a ser examinado numa balança de plataforma e mede o seu peso. O mesmo procedimento é então realizado com um segundo peso para medir a distância entre ambos os pontos. Multiplicar a força de peso pela distância resulta numa equação de momento para determinar o centro de massa.
| Vantagens: |
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| Desvantagens: |
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Método de inclinação
O método de inclinação baseia-se no princípio da estabilidade estática. O objeto a ser examinado é colocado numa superfície plana e testado para inclinação movendo pesos para diferentes posições. O centro de massa também pode ser determinado determinando a linha central gravitacional.
| Vantagens: |
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| Desvantagens: |
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